新建本科高校离散数学教学评价与建议论文
0 引 言
离散数学是计算机专业的核心基础课，在计算机专业课程体系中起到重要的基础理论支撑作用[1-3].离散数学对培养学生的学科素质、掌握正确的学科方法起着重要的作用。新建本科院校多为应用型本科院校，计算机专业是最能体现应用性的专业之一。作为创新型的计算机科学与技术研究、工程和应用的人才，应该具有以下几种能力：获取知识的能力、应用知识的能力和创新能力。通过学习离散数学，对学生获取知识、应用知识的能力，对创新思维的培养有着重要作用[4].
如果教师能够把离散数学基础理论与计算机专业的学生特点和实际应用相结合来进行教学[5- 6],将会极大增强学生的学习兴趣并促进离散数学知识的理解和掌握。笔者提出的直觉模糊满意度计算模型[7],结合定性与定量评价的优势对评价对象进行评价，对评价对象的刻画自然合理，评价过程自动高效，评价结果客观公正。笔者已经成功地将直觉模糊满意度计算模型应用于旅游评价、患者满意度计算、学生综合考评[8-11]等领域。
1 新建本科院校计算机专业离散数学教学评价
1.1 离散数学教学基本状况
表 1 列出了对离散数学教学基本状况评价的2 级评价指标体系。我们对商洛学院 14 级网络工程专业和计算机科学技术专业 120 名本科生发放调查问卷进行调查，收回 112 份有效问卷。表1 中"选择结果"列记录了对应指标该选项选择人数，用该结果除以 112 将数据直觉模糊化得到"评价结果"列。特尔斐法得到二级指标模糊合成时各指标权重均用 0.25,根据直觉模糊满意度计算模型[7],对二级指标进行模糊合成得到一级指标评价得分，详见表 2.32.4% 的学生基本认知和学习现状较差，44% 的学生一般，较好的只有 23.4%.说明学生对离散数学的重要性和作用认识不够，学习离散数学缺乏兴趣，而且学习离散数学有较多困难。30.6% 的学生对离散数学的计算机学科基础性认识较差，49.8% 的学生对离散数学的计算机学科基础性认识一般，而对离散数学的计算机学科基础性认识比较好的学生只有19.7%,说明学生对离散数学的计算机学科基础性认识严重不足，需要加强。33.3% 的学生对离散数学的应用性认识较差，44% 的学生对离散数学的应用性认识一般，而对离散数学的应用性认识比较好的学生只有 22.8%,说明学生对离散数学的应用性认识严重不足，需要在教学中加大力度理论联系实际，增加例题、习题，尤其是应用类题目讲解。没有充分认识到离散数学的计算机学科基础性和应用性是学生学习离散数学缺乏兴趣和动力，学习离散数学困难的最主要原因。
再次用特尔斐法确定一级评价指标权重分别为"基本认知和学习现状"权重 0.2,"离散数学教学对计算机学科基础性体现"权重 0.4,"离散数学教学中对应用性的认知"权重 0.4.进一步对一级指标进行直觉模糊合成得到离散数学教学基本概况评价结果，详见表 3.评价结果体现出新建本科院校计算机专业离散数学教学基本状况不容乐观。32% 学生情况比较差，46.3% 学生一般，情况比较好的仅有 21.7%.一方面由于教师教学中未能充分体现出离散数学的计算机学科基础性，没有真正使学生学以致用，认为离散数学是重要的，没能充分调动学生对离散数学学习的积极性；另一方面新建本科院校学生学习习惯不好，抽象思维能力差，这造成一部分学生对学习离散数学没兴趣且缺乏动力，学习起来比较困难。
1.2 离散数学教学满意度计算
进一步计算新建本科院校计算机专业离散数学教学满意度，研究离散数学教学的现状。用表 4 中的指标体系来计算新建本科院校计算机专业离散数学教学满意度。该指标体系也分两个等级。特尔斐法确定二级指标权重为 0.25,一级指标权重分别为"教学内容"0.2,"教学方法"0.2,"教学态度"0.2,"教学效果"0.4.表 4 的"选择结果"记录了对每一个二级指标"满意""一般"和"不满意"的选择人数除以 112 后的直觉模糊评价结果。
据直觉模糊满意度计算模型[7],对二级指标进行模糊合成得到一级指标评价得分详见表 5.表 5 显示除了对"教学态度"比较满意，其他一级指标不满意率都在 10% 以上，满意率均达不到50%.反映出学生对教学内容、教学方法、教学效果都有所不满。同样表 6 离散数学教学满意度显示近 10% 的学生对离散数学教学不满，只有不到 50% 的学生对离散数学教学表示满意。这些结果充分说明新建本科院校离散数学教学效果比较差。
2 对新建本科院校离散数学教学的几点建议
对新建本科院校离散数学教学基本状况的评价和满意度计算结果显示，新建本科院校离散数学教学未能充分体现计算机学科基础性和应用性，教学质量也是勉强合格。结合这一评价结果及对产生结果原因的分析，以及笔者从事离散数学教学研究工作的经验，给出以下在离散数学教学中的建议。
1）计算机专业离散数学必须紧扣课程间的联系，凸显出离散数学的'计算机学科基础性。
要把离散数学各模块放到计算机专业各学科的知识体系中紧密联系起来讲授。始终强调离散数学是数据结构、算法分析、编译原理、数据库原理等课程的理论基础，与前沿的人工智能、机器定理证明、密码学等课程关系密切。在内容安排上多讲离散数学中作为其他计算机课程基础内容和应用内容，并给学生明确指出来这些基础的重要性。比如在第一节课上要能够对离散数学进行引论性的介绍。包括研究对象、研究内容与历史，与计算机专业其他课程的关系，与高等数学及线性代数等基础数学课程的关系，在计算机学科中的作用、地位、学科进展，教学安排等。通过引导使学生对离散数学有一个整体的认识和把握，有益于学生对该门课程的深入理解，激发学生浓厚的学习兴趣。再如讲离散数学作为数据结构课程的基础先行课，需要给出计算机要解决一个具体问题，必须运用数据结构知识。对于问题中所要处理的数据，必须首先能从具体问题中抽象出一个适合的数学模型，然后设计一个解此数学模型的有效算法，最后编写出程序，进行测试、精化改进直至得到问题的最终解决。而建立数学模型就是数据结构研究的内容，建立数学模型的实质是分析问题，从中抽象操作的对象，并找出这些操作对象之间固有的联系，然后用形式化的语言加以描述。数据结构中将操作对象间的关系分为 4 类：集合、线性结构、树形结构、图状结构或网状结构。数据结构研究的主要内容是数据的逻辑结构，物理存储结构以及基本操作运算。其中逻辑结构和基本操作运算来源于离散数学中的离散结构和算法思考。离散数学中的集合论、关系、树、图论 4 个章节就介绍了数据结构中 4 大结构的基础知识，如集合由元素组成，元素可理解为客观事物。关系是集合的元素之间都存在某种约束关系，例如教师与其学生之间的关系。图论是有许多现代应用的古老理论，瑞士数学家欧拉在 18 世纪提出了图论的基本思想，他利用图解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。还可以用边上带权值的图来解决诸如寻找现实世界两城市之间最短通路的问题。而树反映对象之间的关系，如组织机构图、二进制、家族图、编码都是以树作为模型来讨论。
2）计算机专业离散数学必须紧扣计算机专业学生特点，凸显出离散数学与现实问题的联系及其在计算机学科中的应用性。
新建本科院校计算机专业学生大多抽象思维能力差，但喜欢操作类、应用性比较强、实用性比较强的知识和技能。计算机专业离散数学教学要能够把离散数学基础理论与计算机专业学生的特点和实际应用及其他计算机学科相结合来进行教学，这样才会极大提高学生的学习兴趣，加深对离散数学知识的理解。在实际教学中以实例作为课程引入可以很好地激发学生的求知欲望。比如讲到图论部分时，在介绍抽象概念之前，先将哥尼斯堡七桥问题作为引入，当介绍完该问题的背景后，提出哥尼斯堡问题：一个散步者能否一次走遍 7 座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。当描述完问题后，学生们大多数有跃跃欲试的冲动，可以在练习纸上试着勾画，这样的引入可以使学生产生浓厚的兴趣，带着想要解决问题的求知欲望，进而愉悦地接受知识，然后教师再将哥尼斯堡七桥问题抽象为对应的图和图论问题，既介绍了数学史的知识，又引入了欧拉图的一个重要背景。抽象的概念总是相对难以理解和接受，但是生动的实例往往更引人入胜。再如讲最短路径时可以编程给学生演示求解运输问题中运输距离最短路径，运输时间最短的路径，使得运输成本最低的最优路径等。
在讲到图论在计算机学科中的应用时可以强调图论对计算机制图、程序设计语言、操作系统、编译系统以及信息的组织与检索起重要作用，其平面图、树的研究对集成电路的布线、网络信息流量的分析、网络线路的铺设等的实用价值是显而易见。有了图论作为理论基础，就可以在编译程序中用树来刻画源程序语法结构，得到自顶向下和自下向上这两类不同的语法分析树。
也正是因为有了图论，在数据库系统中，才可以用树来组织信息，从而把各种信息结点间的复杂关系用一种清晰直观的方式表现出来。同样，图论在操作系统中也得到了充分应用，最典型的实例是可以用图论中的回路来判断并发进程中是否存在递归和死锁现象，可以把一项本来很复杂的工作规约成判断一个有向图中是否存在回路加以解决，大幅度提高了工作效率。在计算机体系结构中，指令系统的优化就意味着整个计算机系统性能的提升。指令系统的优化的一种经典方法是对指令的格式进行优化，指令格式的优化就是如何用最短的位数来表示指令的操作信息和地址信息，使程序中的所有指令的平均字长最短。为此可以用到哈夫曼编码算法，构造出哈夫曼树。方法是对指令系统的所有指令的使用频率做一统计，并按使用频率由小到大排序，每次选择其中最小的两个频率合并成一个频率作为它们两个之和的新结点。再按该频率大小插入余下未参与合并的频率值中。如此继续进行，直到全部频率合并完毕形成根结点为止。对每个结点向下延伸的左右两个分支，分别标注"1"或"0",从根结点开始，沿线到达各频率结点所经过的二进制代码序列就构成了该指令的哈夫曼编码。这样得到的编码序列使指令使用概率低的指令编以长码，指令使用概率高的指令编以短码。只有在教学中始终强调离散数学在计算机学科中的应用才能让学生充分认识到离散数学对计算机专业学生是有用的，从而产生持久的学习动力。
3）新建本科院校计算机专业离散数学必须紧扣计算机专业学生基本学情安排教学内容。
目前国内离散数学课程大致分为 3 个层次。
少数著名高校，如清华大学、北京大学、北京师范大学等，为强化基础理论，将离散数学分拆为多门课程，学时甚至多达 200 多学时；大多数重点院校兼顾计算机科学和计算机应用所涉及的离散结构数学模型的讲授，内容较为宽广深入，讲授课时大约在 72~90 学时；部分院校要求稍低，只讲授和计算机应用有关的离散结构数学模型。
新建本科院校属于第 3 层次，离散数学教学为 48学时。笔者所在学校计算机专业离散数学课共计36 个课时，包含命题逻辑、一阶逻辑、集合的基本概念和运算、二元关系和函数、图的基本概念等经典 5 大模块的基本理论。有理论讲授有习题处理，但从讲解过程和调查结果看应当加进去一些实验环节会比较受学生欢迎，同时会提升教学效果。所以下次修订教学大纲，我们还会增加10~15 节课的上机实验。
（1）在逻辑模块给学生演示过用链表存储命题公式，通过循环给命题变元赋不同真值，按照逻辑运算的优先级和规则去求命题公式的真值，输出真值表。再根据真值表求编码的主析取范式与主合取范式，并输出。
（2）在集合论模块可以通过各种算法编程实现求集合的幂集，并输出。最简单的算法就是辗转相除法求 0 到 2n-1 的 2n 个数的二进制编码（n为原集合元素个数），在高位补上 0 使得编码长度为n,再根据二进制编码写出幂集的所有元素，0 对应原集中该位置元素不在当前幂集元素中，1 对应原集中该位置元素在当前幂集元素中。还可以递归的来求集合的幂集。设 A={a1,a2,??,an} 为任一集合 , n=|A| 仍表示集合的势。下面给出输出求 A 的幂集 P（A） 的递归算法：①若 n=0,P（A）={ };②若 n>1.当然还可以设计程序来计算集合并、交、补、相对补、对称差，还有关系的复合、自反闭包、对称闭包、传递闭包等，数据结构和算法都比较简单。
（3）在图论中可以编程实现迪克斯查算法求最短路径、求哈弗曼树、克鲁斯卡尔（普利姆）算法求最小生成树等。
（4）与教师的学术研究结合起来，可以将已有算法应用领域扩展，来解决一些实际问题。可以将求最短路径算法扩展到考虑拥塞状况和路径长度的问题中；将最小生成树算法扩展到求最大生成树，并利用最大生成树做聚类分析等。这些算法都来自笔者的一些学术研究成果，可以激发学生学习兴趣，提高学生的计算思维能力。
4）计算机专业离散数学必须紧扣课程本身特点，采用现代化的教学手段教学。
由于应用型本科院校中离散数学课程内容多、课时相对较少，传统的教学方式信息量有限，而离散数学课程理论性强，很多内容又难以理解。为更好地实现教学目标、完成教学任务，离散数学课堂应该以多媒体教学为主，这样有助于提高教学效率、提升教学质量。例如讲解关系性质及其判别方法时，若采用板书需要花较多时间来书写定义和描述实例，然后才能观察总结；如果通过课前制作好的课件可以在课上直接给出其定义、实例以及判别方法的列表式总结，可以节省大量时间且条理清晰，学生更容易接受。再如讲解迪克斯查算法求最优路径时，如果做成图一步步显示当前求出的最短路径则直观形象，这是板书求解无法比拟的。算法在环境中实现并运行出来才能真正让学生感受到给个输入就得到输出，充分体现计算思维，体现编程解决现实问题的自动高效。多媒体课件有利于加强启发式、形象化教学，通过文字、图像、动画等为学生建立一个形象化的思考过程，提升学生的形象思维和创新思维能力。另外，教师可以自主开发一些多媒体课件、电子教案、教学视频、网络课堂、题库等多位一体教学平台。课后学生可以通过网络进行巩固学习和扩展学习，进行讨论交流，进一步培养自学能力。实际上我们调查的 4 个班中计算机 1401、1402 两个班的离散数学由计算机专业教师代课在多媒体教室上课，网工 1401、1402班由数学专业教师在普通教师上课。用多媒体教学的两个班上课进度快，而且在满意度调查中学生对教学方法中的"应用多媒体，网络教学等现代化教学方法"等指标评价打分较高。所以合理使用多媒体教学，在离散数学某些模块的教学中会显着提高教学效率和提升教学效果。
3 结 语
离散数学是计算机科学与技术专业的核心基础课，如何在教学中体现离散数学的计算机基础性和应用性以提高离散数学教学质量有着重要的现实意义。对商洛学院计算机专业的离散数学教学基本状况和满意度进行问卷调查，基于直觉模糊满意度计算模型进行多级直觉模糊评价，结果显示新建本科院校离散数学教学未能充分体现计算机学科基础性和应用性，教学质量勉强合格。
今后我们将详细分析产生这一结果的原因，结合新建本科院校计算机专业学情，进一步研究体现计算机学科基础性、应用性、合理安排教学内容、采用现代化的教学手段改革。
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