勾股定理证明题
勾股定理证明题
已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形，使每个矩形的宽为长的一半，S1、S2、S3分别表示这三个矩形的面积，则S1、S2、S3之间有什么关系?并证明你的结论。(要详细解题过程)
因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D
所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE
又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC
即，∠DFB=∠AED=90度
根据勾股定理 则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)
BF^2=BD^2-DF^2-------(2)
又因为D是AB的中点，DE//BC,DF//AC。
所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)
在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)
即 EF^2=AE^2+BF^2
因为D是AB的中点，DE垂直于DF于D
所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE
又因为，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC
即，∠DFB=∠AED=90度
根据勾股定理 则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)
BF^2=BD^2-DF^2-------(2)
又因为D是AB的`中点，DE//BC,DF//AC。
所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)
在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)
即 EF^2=AE^2+BF^2
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设MD,ME,MF分别交AC,BC,AB于P,Q,R,连接MA.MB,MC
由勾股定理
MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)
BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)
CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)
CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)
MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)
由(1)(2)(3)(4)(5)可得
AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2
即AE^2=AF^2
AE=AF
4已知△ABC为直角三角形 ,∠BAC=90°,D为B边中点,有一块直角三角板PMN，其中∠MPN=90°，将它放在△ABC上，使得其顶点P与D点重合，旋转三角板OMN，在旋转过程中，三角板的两条直角边DM、DN分别与AB、BC边所在直线交于点E、F，连接EF;
(1)当E、F分别在边AB、AC上时(如图1)，求证：BE^2+CF^2=EF^2
(2)当E、F分别在边AB、AC所在的直线上时(如图2)，线段BE、CE、EF之间的关系是否变化?请说明理由
(3)在图2中，若AB=6，AC=4，AE=1，求EF的长
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作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2
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